Clasificación de las ramas de las matemáticas y su estructura de prerrequisitos — de MSC 2020 a los planes universitarios y los currículos escolares del mundo

1. Las tres clasificaciones vivas, y por qué no se puede elegir una sola

1.1 MSC 2020 — la espina dorsal citable

La Mathematics Subject Classification, revisión 2020, publicada conjuntamente por Mathematical Reviews (AMS) y zbMATH bajo licencia CC-BY-NC-SA [1][2]: 63 áreas de dos dígitos, 529 de tres, 6,022 de cinco [2]. Cada ítem clasificado lleva exactamente una clase primaria y cero o más secundarias [2].

Las 63 áreas de dos dígitos, del PDF oficial descargado [1]:

00 General/overarching      20 Group theory           43 Abstract harmonic      65 Numerical analysis
01 History and biography    22 Topological/Lie groups 44 Integral transforms    68 Computer science
03 Logic and foundations    26 Real functions         45 Integral equations     70 Mechanics: particles
05 Combinatorics            28 Measure/integration    46 Functional analysis    74 Mechanics: solids
06 Order and lattices       30 Complex variable       47 Operator theory        76 Fluid mechanics
08 General algebraic sys.   31 Potential theory       49 Calc. of variations    78 Optics, electromag.
11 Number theory            32 Several complex var.   51 Geometry               80 Thermodynamics
12 Field theory/polynomials 33 Special functions      52 Convex/discrete geom.  81 Quantum theory
13 Commutative algebra      34 ODEs                   53 Differential geometry  82 Statistical mechanics
14 Algebraic geometry       35 PDEs                   54 General topology       83 Relativity
15 Linear/multilinear alg.  37 Dynamical systems      55 Algebraic topology     85 Astronomy
16 Associative rings        39 Difference equations   57 Manifolds              86 Geophysics
17 Nonassociative rings     40 Sequences and series   58 Global analysis        90 Operations research
18 Category theory          41 Approximations         60 Probability            91 Game theory/economics
19 K-theory                 42 Harmonic analysis      62 Statistics             92 Biology
                                                                   93 Systems and control
                                                                   94 Information/circuits
                                                                   97 Mathematics education

Cambios 2010 → 2020: ninguno a dos dígitos («no se crearon nuevos campos»); nueve clases nuevas de tres dígitos (18M, 18N, 53E, 57K, 57Z, 60L, 62R, 68V, 82M); 113 clases de cinco retiradas y 486 nuevas; guiones uniformados (-08 métodos computacionales, -10 modelado, -11 datos de investigación) [2]. El artículo oficial de la revisión es Dunne & Hulek, EMS Newsletter [28].

Nota estructural relevante para nosotros: el MSC no es un árbol, es un DAG — las clases llevan referencias cruzadas explícitas ({For differential topology, see 57Rxx}) [1]. Una clasificación de ramas que no admita enlaces cruzados está mal diseñada desde el primer día.

1.2 arXiv math — la práctica actual

32 categorías math.* con descripciones oficiales [3]: AC (conmutativa), AG (algebraica), AP (EDPs), AT (topología algebraica), CA (análisis clásico y EDOs), CO (combinatoria), CT (categorías), CV (variable compleja), DG (diferencial), DS (dinámicos), FA (funcional), GM, GN (topología general), GR (grupos), GT (geométrica), HO, IT, KT, LO (lógica), MG (métrica), MP (física matemática), NA (numérica), NT (números), OA (operadores), OC (optimización y control), PR (probabilidad), QA (cuántica), RA (anillos), RT (representación), SG (simpléctica), SP (espectral), ST (estadística). Refleja fronteras vivas que MSC reparte (K-theory, simpléctica, cuántica tienen categoría propia), pero no tiene proceso formal de revisión publicado.

1.3 Secciones del ICM — la vista comunitaria cuatrienal

Las 20 secciones del ICM 2022, de las actas oficiales EMS Press [4]: Logic; Algebra; Number Theory; Algebraic and Complex Geometry; Geometry; Topology; Lie Theory; Analysis; Dynamics; PDEs; Mathematical Physics; Probability; Combinatorics; Mathematics of Computer Science; Numerical Analysis and Scientific Computing; Control Theory and Optimization; Statistics and Data Analysis; Stochastic and Differential Modelling; Mathematical Education; History. No son fijas: el Structure Committee de la IMU las revisa cada cuatro años (primer presidente: Terence Tao; desde agosto 2025: Martin Hairer) [5].

1.4 Lo escolar: no hay taxonomía de ramas, y hay que decirlo

• PISA 2022 clasifica el contenido de evaluación en cuatro categorías: quantity; uncertainty and data; change and relationships; space and shape (~¼ de ítems cada una) — no son ramas, son lentes de medición [6].
• ISCED-F 2013 (UNESCO) clasifica programas educativos: campo 054 → 0541 Mathematics / 0542 Statistics [7].
• Los currículos nacionales (§3) organizan por dominios o hilos temáticos, no por ramas de investigación. Cualquier catálogo que pretenda mapear «ramas» a edades escolares está construyendo algo nuevo — como este.

2. La estructura de prerrequisitos escolar: la espina universal

Verificada contra ocho sistemas [8]-[17]. El orden es el mismo en todos; solo varía el empaquetado y el año.

2.1 Los nueve eslabones, con su dependencia dura

1. Conteo y cardinalidad → suma y resta. Universal (CCSS K-1, NC Y1, Singapur P1, México fase 3, Baviera primaria).
2. Multiplicación y división con el sistema posicional en paralelo. La división es el prerrequisito más citado de toda la escolaridad: abre fracciones, razón, porcentaje y promedio.
3. Fracciones (CCSS 3.NF, NC Y3-Y5, Singapur P2-P5, BNCC Números). Exige división consolidada. Los tres sistemas más detallados tratan fracciones/decimales/porcentajes como «formas del mismo número» (literal en NC Y4-Y5).
4. Decimales → porcentaje. Porcentaje exige fracciones con denominador 100 — es una razón por cien (CCSS 6.RP.3c, NC Y5).
5. Razón y proporcionalidad — el puente a la secundaria (CCSS 6.RP, NC Y6, México «variación», la big idea «Proportionality» de Singapur, el «taux d’évolution» francés). Exige multiplicación, división y fracciones a la vez — es la primera dependencia múltiple real.
6. Enteros con signo y pre-álgebra → ecuaciones lineales → funciones lineales (CCSS 7.NS → 8.EE → 8.F; Baviera M5 ℤ → M8; Francia seconde).
7. Cuadráticas y polinomios → exponenciales y logaritmos (Francia 1ʳᵉ: second degré → exponentielle definida como única f con f′ = f [14]; Baviera M9 → M10; CCSS HS Algebra).
8. Trigonometría. Exige simultáneamente geometría (semejanza, Pitágoras) y funciones — por eso llega tarde en todos los sistemas (GCSE Higher, Francia 1ʳᵉ con círculo trigonométrico, Baviera M9-M10, O-level Singapur, CCSS HS Geometry/Algebra II).
9. Cálculo (derivada → integral). Exige funciones y límites intuitivos. Es el contenido de cierre — con dos excepciones de peso: el O-level base de Singapur y el GCSE inglés NO incluyen cálculo [16][10]; entra a los 16-17 en Francia y España [14][13], a los 17-18 en A-level, Abitur y AP Calc.

2.2 Las dos espirales paralelas

Geometría y medida (figuras → medida → ángulos → Pitágoras → coordenadas → vectores) y estadística y probabilidad (pictogramas → media → probabilidad simple → distribuciones) corren en espiral desde primaria en todos los sistemas verificados [8]-[17]. Geometría no es prerrequisito de álgebra en ninguno: son hilos paralelos que se encuentran tarde (en la geometría analítica y la trigonometría). La afirmación «no puedes hacer álgebra sin geometría básica» es falsa como prerrequisito; la verdad estructural es que las dos espirales se cruzan en puntos concretos: coordenadas (álgebra × geometría), pendiente (razón × funciones), trigonometría (geometría × funciones), vectores (álgebra lineal × geometría).

2.3 Lo que varía por país (y por qué importa a un producto en 7 locales)

• Empaquetado de secundaria: EE.UU. permite Algebra I → Geometry → Algebra II o integrado — los estados deciden (Appendix A de CCSS) [8]; España integra y bifurca en 4º ESO (Matemáticas A académicas / B aplicadas) y por modalidad en Bachillerato con prelación formal 1º→2º [13]; Francia: tronco común en seconde + especialidad [14]; Alemania: integrado por Jahrgangsstufe [15]; Singapur: streaming Standard/Foundation en P5 y Express/NA/NT después [16].
• Cuándo entra la demostración formal: Francia y el IB (Proofs, solo HL) la hacen explícita [14][12]; EE.UU. la concentra en el curso de Geometry; el NC inglés la diluye en «reason mathematically» [9].
• México en transición: la MCCEMS (Acuerdo 09/08/23) reorganiza la media superior en progresiones transversales de «Pensamiento Matemático» en vez de las materias clásicas Álgebra → Geometría y Trigonometría → Cálculo [11]. Un producto que hable de «álgebra de secundaria» le habla al sistema viejo.

3. La estructura de prerrequisitos universitaria: diez instituciones verificadas

Fuentes primarias descargadas: catálogos y planes oficiales de MIT [18], Harvard [19], Stanford [20], Cambridge [21], Oxford [22], ETH Zürich [23], Princeton [24], UC Berkeley [25], UNAM [26] y Sorbonne (parcial) [27].

3.1 Los cinco patrones que se repiten

Patrón 1 — Álgebra lineal va después o en paralelo al multivariable, nunca antes del cálculo de una variable. MIT: 18.06 exige 18.02 [18]. Harvard: 21b (lineal + EDOs) tras 21a [19]. Berkeley: 54 tras 52, junto a 53 [25]. Princeton: 202 tras 104, intercambiable con 201 [24]. Stanford: integrado (Math 51 es lineal + multivariable) [20]. Los sistemas europeos de año cerrado (Cambridge, Oxford, ETH, UNAM) la ponen en primer año en paralelo con el análisis, porque todo el año 1 es núcleo [21][22][23][26].

Patrón 2 — La probabilidad entra dos veces. Temprana y basada en cálculo (MIT 18.05 exige 18.02; Cambridge/Oxford/ETH en año 1-2); rigurosa con medida, después del análisis real: ETH declara Analysis III (Masstheorie) como base de la Wahrscheinlichkeitstheorie, el análisis funcional y las EDPs [23]; MIT 18.675 recomienda 18.600 [18]; Harvard 114 (medida) abre la corriente de análisis [19].

Patrón 3 — El curso puente de demostración existe en todas partes, con tres diseños. (a) Curso explícito: MIT 18.090, Berkeley 55, Harvard 101/112/121, Princeton 210/214, ETH Grundstrukturen, UNAM Álgebra Superior (primer semestre: inducción, divisibilidad, congruencias) [26]; (b) integrado desde el día 1: Cambridge (Numbers and Sets + Analysis I con ε-δ en año 1), Oxford (Introduction to University Mathematics); (c) pista acelerada paralela: Harvard 25/55, Stanford 60CM/DM, Princeton 215-217. Ningún sistema lanza a un estudiante a cursos de demostración sin puente.

Patrón 4 — El análisis real exige solo cálculo; todo lo demás exige ambos. MIT 18.100A/B: prerrequisito únicamente 18.02 [18]. Pero 18.101 (variedades), 18.102 (funcional), 18.112 (compleja avanzada), 18.152 (EDPs) exigen (álgebra lineal) ∧ (análisis real) a la vez [18]. La conjunción es la puerta del upper division también en Berkeley (104 + 110 obligatorios) [25] y Cambridge (Linear Algebra y Analysis & Topology en IB) [21].

Patrón 5 — Dos niveles de álgebra lineal (computacional → teórica): MIT 18.06 → 18.700; Berkeley 54 → 110; Stanford 51 → 113; Cambridge Vectors and Matrices → Linear Algebra. El segundo pase es el que alimenta álgebra abstracta, representaciones y geometría.

3.2 El grafo de prerrequisitos universitario (síntesis)

cálculo 1 variable ──┬──> multivariable ──┬──> EDOs
                     │                    ├──> álgebra lineal (computacional)
                     │                    └──> probabilidad (temprana)
                     ├──> análisis real ──────────┐
                     └──> [puente de demostración]│
álgebra lineal ──────┴──> álgebra lineal teórica ──┴──> álgebra abstracta
análisis real ∧ álgebra lineal ──┬──> análisis funcional
                                 ├──> variable compleja avanzada
                                 ├──> variedades / geometría diferencial
                                 ├──> EDPs
medida ──────────────────────────┴──> probabilidad teórica
álgebra abstracta ─────────────────> teoría de Galois, representaciones
topología general (tras análisis) ──> topología algebraica

Las dependencias duras de inscripción son fenómeno estadounidense (Prereq: en el catálogo); Cambridge, Oxford, ETH y UNAM usan año cerrado + dependencias «indicativas» por contenido [21][22][23][26].

4. El mapa de ramas para Math Challenge

Síntesis de §1-§3 en una clasificación operativa. Cada rama lleva su código MSC 2020, su posición escolar (si existe) y su puerta de prerrequisitos. Es la clasificación que el catálogo de retos (docs/planes/f11-contenido-retos.md) referencia, y la que un futuro campo rama del banco debería usar.

Familia F0 · Fundamentos del número (MSC 11 en parte, 97)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
ARIT	Aritmética entera	conteo	N1-N4
ENTE	Enteros con signo	aritmética	N7
FRAC	Fracciones	división	N5
DECI	Decimales y porcentaje	fracciones	N6
RAZO	Razón y proporción	fracciones + multiplicación	N6
DIVI	Divisibilidad y primos	multiplicación/división	N4-N7
TNUM	Teoría de números	divisibilidad + congruencias	N11

Familia F1 · Álgebra (MSC 12, 15, 16, 20, 08)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
PREA	Pre-álgebra y sucesiones	aritmética	N7
ALGE	Álgebra (ecuaciones, sistemas, polinomios)	pre-álgebra	N8
EXP	Exponenciales y logaritmos	cuadráticas	N9
ALIN	Álgebra lineal (matrices, vectores, determinantes)	álgebra + funciones	N11
AABS	Álgebra abstracta (grupos, anillos)	álgebra lineal teórica + puente de demostración	N12

Familia F2 · Geometría y medida (MSC 51, 52, 53, 14)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
GEOP	Geometría plana (figuras, área, perímetro)	aritmética	N5
GEOA	Geometría analítica (coordenadas, pendiente, distancia)	álgebra	N8
VECT	Vectores y cálculo vectorial	álgebra lineal + cálculo multivariable	N12
TOPO	Topología (como formato evaluar, mc-12)	análisis real	N12

Familia F3 · Análisis (MSC 26, 28, 30, 34, 35, 40, 46)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
FUNC	Funciones	ecuaciones lineales	N9
TRIG	Trigonometría	geometría + funciones (a la vez)	N9-N10
CALD	Cálculo diferencial	funciones	N10
CALI	Cálculo integral	cálculo diferencial	N10
ANAL	Análisis real (límites rigurosos)	cálculo + puente de demostración	N12
VCOM	Variable compleja	análisis real ∧ álgebra lineal	(futuro)
EDOS	Ecuaciones diferenciales	cálculo integral + álgebra lineal	(futuro)

Familia F4 · Probabilidad y estadística (MSC 60, 62)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
ESTB	Estadística (media, mediana, datos)	aritmética + fracciones	N6-N10
PROB	Probabilidad	fracciones + funciones	N9
COMB	Combinatoria	multiplicación + álgebra	N11

Familia F5 · Demostración y lógica (MSC 03)

Código	Rama	Puerta (exige)	Nivel N
LOGI	Lógica y negación de cuantificadores	álgebra	N11-N12
DEMO	Demostración (validación, detectar el error)	puente — la «pista Lean 4» de D-124	N11-N12

Reglas del mapa: (1) el nivel N es de dificultad, la rama es de familia — se mueven por separado (D-017 ya lo dice para tema visual y nivel; aquí es el mismo principio una capa abajo). (2) Las puertas son la mitad verificada de este documento (§2-§3), no criterio: cada una cita su sistema. (3) El mapa es un DAG como el MSC, no un árbol: TRIG tiene dos puertas, VCOM y EDOS dos cada una.

5. Implicaciones de diseño para Math Challenge

1. El banco gana un campo rama (los códigos de §4), separado de nivel y de habilidad. Sin él, «6 retos por nivel» (D-122) puede cumplirse con seis retos de la misma rama y nadie lo notaría. Con él, el auditor del piso (piso-seis-retos.mjs) puede exigir cobertura: ≥3 ramas distintas por nivel.
2. Las aristas de prerrequisito del adaptativo (F4) deben venir de §4, no inventarse: skill_state agenda nodos de habilidad, y la pregunta «¿puede ver fracciones?» se responde con la arista FRAC ← división. La tabla de §4 es la primera fuente verificada del proyecto para esas aristas.
3. El catálogo de los 54 retos queda medido por primera vez. Cobertura actual: 20 ramas de las 24 del mapa — faltan VCOM, EDOS, FUNC como rama explícita (está repartida), y DIVI suelto fuera de N4. Los huecos son compatibles con D-124 (los formatos auto-calificables mandan) pero ahora son visibles y decidibles, no invisibles.
4. El «puente de demostración» tiene que existir como pista, no como esperanza: los diez sistemas universitarios lo tienen, y nuestra versión es la pista Lean 4 (D-124) más los formatos de mc-12 (detectar el error, ordenamiento de pasos) ya presentes en N11-N12 del catálogo.
5. Geometría corre en espiral, no se «pasa» una vez: el mapa la pone en N5, N8 y N12, y la trigonometría con dos puertas. Cualquier diseño de prerrequisitos lineal («primero toda la geometría, luego todo el álgebra») contradice los ocho sistemas escolares verificados.
6. México y Singapur introducen álgebra temprano (variación/big ideas); EE.UU. espera a 6º. Para los 7 locales, el nivel N de un reto es neutral al país (D-017/mc-15) — y esta investigación es la evidencia de por qué debe seguir siéndolo: el contenido por edad varía; la estructura de dependencias, no.
7. La probabilidad se enseña dos veces (temprana con cálculo, rigurosa con medida). Nuestro PROB de N9 es la primera; la segunda no es auto-calificable con los formatos actuales y queda explícitamente fuera.
8. MSC 97 (Mathematics education) y la sección 19 del ICM son el puente oficial entre investigación y enseñanza — este documento vive ahí, y la clasificación de §4 debe revisarse cuando MSC 2030 salga (ciclo decanal declarado [2]).

6. Preguntas abiertas para el dueño — RESUELTAS (2026-08-03)

#	Pregunta	Respuesta	Decisión
1	¿Códigos propios o MSC?	MSC de 2 dígitos, con nombre en lenguaje de personas autorado por locale (respuesta personalizada del dueño: rigor del estándar, cara de persona)	D-128
2	¿Cobertura del auditor del piso?	≥3 ramas MSC distintas por nivel, además de los 6 retos	D-129
3	¿VCOM/EDOS?	Entran como niveles futuros — mc-12 confirma que son auto-calificables	D-130
4	¿Las espirales como aristas?	Débiles (recomiendan, no bloquean); duras solo las verificadas	D-131
5	¿El puente de demostración?	Pista transversal visible en el mapa, no un nivel más	D-132
6	¿Quién lo mantiene al día?	Entradas fechadas en dudas.md: 2027 (currículos) y 2030 (MSC)	D-133
7	¿FUNC explícita?	Sí — es la puerta de todo el cálculo y debe ser auditable	D-134
8	¿Dónde vive el grafo?	Módulo puro packages/motor/src/ramas.ts	D-135